กฎเกณฑ์การนับ และแฟกทอเรียล

กฎข้อที่ 1 กฎการคูณ

ถ้างานหนึ่งทำเสร็จได้ใน k ขั้นตอน
ขั้นที่ 1 ทำได้ n₁ วิธี ขั้นที่ 2 ทำได้ n₂ วิธี ไปจนถึงขั้นที่ k ทำได้ n_k วิธี
จำนวนวิธีทั้งหมด = n₁ × n₂ × n₃ × … × n_k วิธี

คำสำคัญคือ ต้องทำทุกขั้นตอนให้ครบ งานถึงจะเสร็จ

เลื่อนดูว่าจำนวนวิธีโตเร็วแค่ไหน แผนภาพต้นไม้ทางซ้ายคือสิ่งเดียวกับการคูณ แค่วาดออกมาให้เห็นทุกเส้นทาง

จำนวนขั้นตอน

ขั้นที่ 1 ทำได้กี่วิธี

ขั้นที่ 2 ทำได้กี่วิธี

ขั้นที่ 3 ทำได้กี่วิธี

ตัวอย่าง สนามกีฬามี 4 ประตู เข้าประตูหนึ่งแล้วออกอีกประตูหนึ่งที่ไม่ซ้ำกัน ได้กี่วิธี

งานนี้มี 2 ขั้นตอน ขั้นแรกเลือกประตูเข้า ทำได้ 4 วิธี ขั้นที่สองเลือกประตูออก แต่ห้ามซ้ำประตูเดิม จึงเหลือ 3 วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมด = 4 × 3 = 12 วิธี

ตัวอย่าง โยนเหรียญ 3 เหรียญ ได้ผลลัพธ์ต่างกันกี่แบบ

เหรียญแต่ละอันออกได้หัวหรือก้อย คือ 2 วิธี และมี 3 เหรียญจึงเป็น 3 ขั้นตอน แต่ละขั้นไม่กระทบกัน

จำนวนวิธีทั้งหมด = 2 × 2 × 2 = 8 วิธี คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

กฎข้อที่ 2 กฎการบวก

ถ้างานหนึ่งมีวิธีทำมากกว่า 1 ทาง
แต่เลือกทำได้เพียงทางใดทางหนึ่งเท่านั้น
จำนวนวิธีทั้งหมด = ผลบวกของจำนวนวิธีในแต่ละทาง

คำสำคัญคือ เลือกทางใดทางหนึ่ง ทำทางเดียวก็จบงานแล้ว

ตัวอย่าง หยิบไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ ให้ได้แต้ม 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 ได้กี่วิธี

หยิบใบเดียวจบ ไม่ได้ต้องหยิบสี่ใบ จึงเป็นสี่ทางที่แยกกัน แต่ละแต้มมี 4 ดอก คือ โพดำ โพแดง ดอกจิก ข้าวหลามตัด

จำนวนวิธีทั้งหมด = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 วิธี

ตัวอย่าง เรือขนาดใหญ่ 3 ลำ เรือเล็ก 5 ลำ ไปและกลับ ต้องใช้เรือขนาดเดียวกันทั้งไปและกลับ ได้กี่วิธี

แยกเป็นสองทางที่เกิดพร้อมกันไม่ได้ ทางแรกใช้เรือใหญ่ทั้งไปและกลับ ทางที่สองใช้เรือเล็กทั้งไปและกลับ ภายในแต่ละทางยังต้องเลือกสองครั้งจึงใช้การคูณ แล้วค่อยเอาสองทางมาบวกกัน

เรือใหญ่ 3 × 3 = 9 วิธี • เรือเล็ก 5 × 5 = 25 วิธี
รวม = 9 + 25 = 34 วิธี

จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องคูณหรือต้องบวก

นี่คือจุดที่นักเรียนพลาดมากกว่าการคิดเลข ให้ถามตัวเองด้วยประโยคเดียว

ทำขั้นนี้เสร็จแล้ว งานจบหรือยัง

ยังไม่จบ ต้องทำต่ออีก → คูณ • จบแล้ว อีกทางเป็นคนละกรณี → บวก

คำที่มักโผล่ในโจทย์	ใช้กฎ	ตัวอย่าง
และ, แล้ว, ต่อด้วย, ผ่าน	คูณ	ใส่เสื้อ และ กางเกง ต้องใส่ทั้งสองอย่างชุดถึงจะครบ
หรือ, ทางใดทางหนึ่ง, กรณีที่	บวก	ได้แต้ม 2 หรือ 3 หยิบใบเดียวได้แต้มเดียว
ไปแล้วกลับ, เข้าแล้วออก	คูณ	เข้าประตู แล้วยังต้องออกอีก งานยังไม่จบ
แยกเป็นกรณี แล้วในกรณีมีหลายขั้น	คูณก่อน แล้วบวก	เรือใหญ่ 3×3 = 9 กับ เรือเล็ก 5×5 = 25 แล้วบวกได้ 34

กับดักคำว่า ไม่ซ้ำ

เมื่อโจทย์ห้ามใช้ของเดิมซ้ำ ตัวเลขในขั้นถัดไปจะลดลงทีละหนึ่ง แต่ยังคงเป็นการคูณอยู่ดี ไม่ได้เปลี่ยนไปเป็นการบวก

ประตู 6 บาน เข้าออกประตูใดก็ได้ = 6 × 6 = 36 วิธี • เข้าออกไม่ซ้ำประตู = 6 × 5 = 30 วิธี • เข้าประตูใดต้องออกประตูนั้น = 6 วิธี

แผนภาพช่อง สำหรับโจทย์จัดตัวเลข

โจทย์แนวสร้างจำนวนหลายหลักให้วาดช่องเท่าจำนวนหลัก แล้วเติมว่าแต่ละช่องมีตัวเลือกกี่ตัว เริ่มเติมจากช่องที่มีเงื่อนไขบังคับก่อนเสมอ ไม่ใช่เติมจากซ้ายไปขวา

คำตอบ

ทำไมต้องแยกกรณีตอนโจทย์ถามจำนวนคู่

เพราะเลข 0 ทำหน้าที่สองอย่างพร้อมกันไม่ได้ ถ้า 0 ไปอยู่หลักหน่วยเพื่อให้เป็นจำนวนคู่ หลักหน้าสุดก็ใช้เลขที่เหลือได้ทุกตัว แต่ถ้าหลักหน่วยเป็น 2, 4 หรือ 6 หลักหน้าสุดยังห้ามเป็น 0 อยู่ ตัวเลือกจึงไม่เท่ากัน ต้องแยกคิดแล้วเอามาบวกกัน

แฟกทอเรียล

n! = 1 × 2 × 3 × … × n = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1

อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n

สูตรลดรูปที่ใช้บ่อยที่สุด

ในนิยามของ n! ก้อนที่อยู่หลัง n ก็คือ (n − 1)! พอดี จึงแยกออกมาได้

n! = n × (n − 1)!

ทำไม 0! ถึงเท่ากับ 1

ไม่ใช่การนิยามลอย ๆ แต่บังคับมาจากสูตรข้างบน ลองแทน n ด้วย 1 ดู

1! = 1 × (1 − 1)! → 1 = 1 × 0! → 0! = 1
ถ้า 0! เป็นค่าอื่น สูตร n! = n(n − 1)! จะพังทันทีที่ n = 1

เครื่องคำนวณ a! ÷ b! ค่า a =

ค่า b =

ผลลัพธ์

เทคนิคตัดทอน อย่ากดเครื่องคิดเลขหาค่าเต็ม

เมื่อ a มากกว่า b ให้กระจาย a! ลงมาจนถึง b! แล้วตัดทิ้ง เหลือแค่ผลคูณสั้น ๆ ไม่กี่ตัว

9! ÷ 6! = 9 × 8 × 7 × 6! ÷ 6! = 9 × 8 × 7 = 504
แบบทั่วไป n! ÷ (n − 1)! = n และ n! ÷ (n − 2)! = n(n − 1)

หมวดทบทวน และใบฝึกสำหรับพิมพ์

หัวข้อปิดไว้ ให้ตอบในใจก่อนแล้วค่อยกดเปิดเฉลย

กฎการคูณใช้เมื่อไร

ใช้เมื่องานต้องทำหลายขั้นตอนให้ครบทุกขั้น งานถึงจะเสร็จ เอาจำนวนวิธีของแต่ละขั้นมาคูณกัน

กฎการบวกใช้เมื่อไร

ใช้เมื่องานมีหลายทางเลือกที่เกิดพร้อมกันไม่ได้ เลือกทางใดทางหนึ่งแล้วงานจบเลย เอาจำนวนวิธีของแต่ละทางมาบวกกัน

ประโยคเดียวที่ใช้ตัดสินว่าจะคูณหรือบวก

ถามว่า ทำขั้นนี้เสร็จแล้วงานจบหรือยัง

ยังไม่จบ ต้องทำต่อ → คูณ • จบแล้ว ทางอื่นเป็นคนละกรณี → บวก

ประตู n บาน เข้าและออก มีกี่แบบ แต่ละแบบได้เท่าไร

มีสามแบบที่โจทย์ชอบถามสลับกัน

เข้าออกประตูใดก็ได้ = n × n • เข้าออกไม่ซ้ำประตู = n(n − 1) • เข้าประตูใดต้องออกประตูนั้น = n

โจทย์จัดตัวเลข ควรเริ่มเติมช่องไหนก่อน

เริ่มจากช่องที่มีเงื่อนไขบังคับก่อนเสมอ เช่นถ้าโจทย์บอกว่าต้องเป็นจำนวนคู่ ให้เติมหลักหน่วยก่อน แล้วค่อยไปเติมหลักหน้าสุดซึ่งห้ามเป็น 0 ถ้าเติมจากซ้ายไปขวาตามความเคยชินจะนับผิด

เจอ 0 ในชุดตัวเลข ต้องระวังอะไร

เลข 0 ห้ามอยู่หลักหน้าสุด และเมื่อโจทย์ถามจำนวนคู่ ต้องแยกสองกรณีคือหลักหน่วยเป็น 0 กับหลักหน่วยเป็นเลขคู่ตัวอื่น เพราะจำนวนตัวเลือกของหลักหน้าสุดไม่เท่ากัน

n! คืออะไร และ n! = n(n − 1)! มาจากไหน

n! คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n ส่วนสูตรลดรูปมาจากการสังเกตว่าก้อนที่อยู่ถัดจาก n ในนิยามก็คือ (n − 1)! พอดี

ทำไม 0! = 1

แทน n = 1 ในสูตร n! = n(n − 1)! จะได้ 1! = 1 × 0! นั่นคือ 1 = 1 × 0! จึงต้องได้ 0! = 1 เพื่อให้สูตรใช้ได้ตั้งแต่ n = 1

เจอ 100! ÷ 98! ทำอย่างไร

อย่ากดหาค่าเต็ม ให้กระจายตัวบนลงมาจนถึงตัวล่างแล้วตัดทิ้ง

100! ÷ 98! = 100 × 99 × 98! ÷ 98! = 100 × 99 = 9,900

ใบฝึกสำหรับพิมพ์ 40 ข้อ

สุ่มโจทย์ใหม่ได้ไม่จำกัด ตัวเลขในโจทย์เปลี่ยนทุกครั้ง คำตอบคำนวณให้อัตโนมัติ

ตอนที่ 1 โจทย์กฎการนับ 15 ข้อ ตอนที่ 2 แฟกทอเรียล 15 ข้อ ตอนที่ 3 โจทย์จัดตัวเลข 10 ข้อ