กราฟของการเคลื่อนที่มี 3 ชนิด คือ s–t, v–t และ a–t ทั้งสามเชื่อมกันด้วยเครื่องมือเพียง 2 อย่าง คือ ความชัน กับ พื้นที่ใต้กราฟ
แตะป้ายในแผนผัง เพื่อดูว่าแต่ละลูกศรหมายถึงสมการอะไร
สูตร
สี่บรรทัดที่ต้องจำให้ได้
v = dsdtความชันของกราฟ s–t
s = ∫v dtพื้นที่ใต้กราฟ v–t
a = dvdtความชันของกราฟ v–t
v = ∫a dtพื้นที่ใต้กราฟ a–t (ได้ค่า v − u)
ค่าเฉลี่ย กับ ค่าขณะใดขณะหนึ่ง
สองคำนี้คนละความหมาย และคำนวณต่างกัน
vav = ΔsΔtความเร็วเฉลี่ย ใช้ การกระจัด คิดเครื่องหมาย
vav = ΔsΔtอัตราเร็วเฉลี่ย ใช้ ระยะทาง ไม่คิดเครื่องหมาย
v = dsdtความเร็วขณะหนึ่ง = ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น
ข้อควรจำ
ถ้ากราฟ
v–t มีทั้งส่วนบนแกนและใต้แกน
- ระยะทาง s = ผลรวมพื้นที่ใต้กราฟ โดยไม่คิดเครื่องหมาย
- การกระจัด s = ผลรวมพื้นที่ใต้กราฟ โดยคิดเครื่องหมายด้วย
การเคลื่อนที่หนึ่งแบบ เขียนได้ 3 กราฟที่ต้องสอดคล้องกันเสมอ เลือกสถานการณ์ แล้วลากเส้นเวลาดูทั้งสามกราฟไปพร้อมกัน — หรือแตะบนกราฟตรงจุดที่อยากดู
t = 0t = 0 st = 6 s
ถามนักเรียนก่อน: ตรงเวลานี้ วัตถุเคลื่อนที่ไปทางใด เร็วขึ้นหรือช้าลง แล้วกราฟ s–t ควรโค้งแบบไหน
กฎอ่านกราฟ 3 ชั้น ที่ใช้ได้ทุกโจทย์
- เครื่องหมายของ v บอกทิศ — บวกคือเดินหน้า ลบคือถอยหลัง ศูนย์คือหยุด
- เทียบเครื่องหมาย a กับ v — ทิศเดียวกันคือเร็วขึ้น ทิศตรงข้ามคือช้าลง
- a เป็นศูนย์ → กราฟ s–t เป็นเส้นตรง · a เป็นบวก → s–t โค้งหงาย · a เป็นลบ → s–t โค้งคว่ำ
เจาะลึกเครื่องมือแรก เลือกรูปร่างกราฟ s–t แล้วเลื่อนแถบเวลา ดูว่าเส้นสัมผัส (ความชัน) เปลี่ยนไปอย่างไร
t = 0t = 1.2 st = 4 s
ถามนักเรียนก่อน: ที่จุดนี้ความชันเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ และกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง
อ่านความหมายของความชันกราฟ s–t
- ความชัน ศูนย์ → อยู่นิ่ง หรือหยุดชั่วขณะก่อนเคลื่อนที่กลับ
- ความชัน บวก → เดินหน้า · ความชัน ลบ → ถอยหลัง
- ความชันคงที่ → เส้นตรง · ความชันไม่คงที่ → เส้นโค้ง
- ความชันเพิ่มขึ้น → เส้นโค้งหงาย · ความชันลดลง → เส้นโค้งคว่ำ
สามกราฟ สามวิธีอ่าน กดปุ่มในแต่ละการ์ดเพื่อเปิดคำตอบทีละขั้น
4.1
อ่านค่าจากกราฟ s–t
เดินไป หยุดพัก แล้วเดินกลับ
แตะแต่ละช่วงบนกราฟ เพื่อดูความชันของช่วงนั้น
เลือกช่วงเวลาเพื่อดูความเร็วในช่วงนั้น
ทำไมความเร็วเฉลี่ยเป็นศูนย์ เพราะกลับมาที่จุดเริ่มต้น การกระจัดจึงเป็นศูนย์ ส่วนอัตราเร็วเฉลี่ยใช้ระยะทาง 12 m หารด้วยเวลา 7 s ได้ 1.71 m/s
4.2
อ่านค่าจากกราฟ v–t
ความชันให้ความเร่ง พื้นที่ให้การกระจัด
กราฟตัดแกนเวลาที่ t = 4 s ตรงนั้นวัตถุกลับทิศ
ถามนักเรียนก่อน: ระยะทางกับการกระจัดของกราฟนี้ เท่ากันหรือไม่ เพราะอะไร
ความเร่ง = ความชัน = (0 − 8) ÷ 4 = −2 m/s² คงที่ทั้งกราฟ เพราะเป็นเส้นตรงเส้นเดียว เครื่องหมายลบบอกว่าความเร่งมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ช่วงแรก
4.3
อ่านค่าจากกราฟ a–t
พื้นที่ใต้กราฟ a–t คือความเร็วที่เปลี่ยนไป
กำหนดความเร็วต้น u = 2 m/s แล้วเดินตามพื้นที่ทีละช่วง
กด “เดินขั้นถัดไป” เพื่อเริ่มจาก u = 2 m/s
ระยะทางจากกราฟ a–t หาตรง ๆ ไม่ได้
ต้องแปลงกราฟ a–t ให้เป็นกราฟ v–t เสียก่อน แล้วจึงหาพื้นที่ใต้กราฟ v–t
ในตัวอย่างนี้ v–t เป็นเส้นตรงจาก 2 → 14 (ช่วง 0–3 s) แล้วลงมา 14 → 10 (ช่วง 3–5 s)
ได้พื้นที่ ½(2+14)(3) = 24 m และ ½(14+10)(2) = 24 m → รวม 48 m
ทักษะที่ออกสอบบ่อยที่สุดคือการแปลงกราฟหนึ่งไปอีกกราฟหนึ่ง ดูกราฟที่โจทย์ให้ แล้วเลือกกราฟที่สอดคล้องกัน 7 ข้อ
จบชุดจับคู่กราฟ
0/ 7 ข้อ
โจทย์แบบนี้ให้กราฟ v–t มาแล้วสั่งว่า “จงอธิบายลักษณะการเคลื่อนที่” วิธีทำคือแยกทีละช่วง แล้วตอบคำถามเดิม 3 ข้อทุกครั้ง ตอบเองก่อน แล้วเทียบกับคำตอบเต็มที่เขียนตามรูปแบบที่ใช้ตอบข้อสอบได้เลย
แผนภาพสรุปการเคลื่อนที่
ขั้นสุดท้ายของคำตอบ คือสรุปว่าอนุภาคเดินหน้าถอยหลังอย่างไร และช่วงไหนเร่งช่วงไหนหน่วง
ถามนักเรียนก่อน: อนุภาคกลับทิศกี่ครั้ง และกลับทิศที่จุดใด
กับดักที่พลาดกันมากที่สุดในข้อ (2)
เครื่องหมายของ a เพียงอย่างเดียว
ไม่ได้ บอกว่าเร่งหรือหน่วง ต้องเทียบทิศของ a กับ v เสมอ
- ช่วง AB: a เป็นบวก แต่ v เป็นลบ ทิศตรงข้ามกัน อนุภาคจึงหน่วง (ช้าลงจนหยุด)
- ช่วง DE: a เป็นลบ แต่ v ก็เป็นลบ ทิศเดียวกัน อนุภาคจึงเร่ง (เร็วขึ้น)
- สรุปเป็นกฎเดียว: a กับ v ทิศเดียวกัน = เร่ง · ทิศตรงข้าม = หน่วง ไม่เกี่ยวกับว่าเลขติดลบหรือไม่
โจทย์ตกอิสระคือกราฟ v–t เส้นตรงที่มีความชันคงที่เท่ากับ −g เสมอ กดเล่นแล้วดูลูกบอลกับกราฟไปพร้อมกัน
ถามนักเรียนก่อน: ที่จุดสูงสุด ความเร็วและความเร่งมีค่าเท่าใด
สามข้อที่โจทย์ชอบหลอก
- ที่จุดสูงสุด ความเร็วเป็นศูนย์ แต่ความเร่งไม่เป็นศูนย์ ยังเท่ากับ g ทิศลงเสมอ
- ตำแหน่งที่อัตราเร็วเป็นศูนย์ คือตำแหน่งที่วัตถุเริ่มเคลื่อนที่กลับ
- ขาขึ้นกับขาลงที่ระดับเดียวกัน อัตราเร็วเท่ากันแต่เครื่องหมายตรงข้าม กราฟจึงสมมาตรรอบจุดตัดแกน t
22 ข้อ แบ่ง 4 หมวด มีทั้งข้อที่ให้กราฟมาอ่านเอง ตอบแล้วเห็นเฉลยทันที ปลายทางสรุปคะแนนแยกหมวดให้เห็นว่าควรกลับไปอ่านหัวข้อไหน
ข้อ 1 / 22ความสัมพันธ์
สรุปผล
0/ 22 ข้อ
คำที่ใช้สลับกันบ่อยจนคิดว่าเหมือนกัน แต่ในการคิดคำนวณให้ผลต่างกัน
ระยะทาง (distance)
ความยาวตามเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ผ่านทั้งหมด เป็นปริมาณสเกลาร์ มีแต่ค่าบวก จากกราฟ v–t คิดจากพื้นที่ใต้กราฟโดยไม่คิดเครื่องหมาย
การกระจัด (displacement)
ระยะที่วัดจากจุดเริ่มต้นไปจุดสุดท้ายในแนวตรง เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง จากกราฟ v–t คิดจากพื้นที่ใต้กราฟโดยคิดเครื่องหมาย
อัตราเร็ว กับ ความเร็ว
อัตราเร็วเป็นสเกลาร์ คิดจากระยะทางต่อเวลา ความเร็วเป็นเวกเตอร์ คิดจากการกระจัดต่อเวลา เดินทางกลับที่เดิม ความเร็วเฉลี่ยเป็นศูนย์ แต่อัตราเร็วเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์
ความชันของกราฟ (slope)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของแกนตั้งเทียบกับแกนนอน หาจาก Δ(แกนตั้ง) ÷ Δ(แกนนอน) ถ้าเป็นเส้นโค้ง ให้ลากเส้นสัมผัสที่จุดนั้นแล้วหาความชันของเส้นสัมผัส
พื้นที่ใต้กราฟ (area under graph)
พื้นที่ระหว่างเส้นกราฟกับแกนนอน ส่วนที่อยู่เหนือแกนคิดเป็นบวก ส่วนที่อยู่ใต้แกนคิดเป็นลบ ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม หรือสี่เหลี่ยมคางหมูตามรูปร่าง
เส้นโค้งหงาย กับ เส้นโค้งคว่ำ
เส้นโค้งหงายคือกราฟที่ความชันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เส้นโค้งคว่ำคือกราฟที่ความชันลดลงเรื่อย ๆ ใช้แยกได้ทันทีว่าวัตถุเร่งขึ้นหรือหน่วงลง
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร็วที่เวลาใดเวลาหนึ่ง ได้จาก ds/dt ซึ่งบนกราฟคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น ต่างจากความเร็วเฉลี่ยที่คิดจากช่วงเวลาทั้งช่วง
ความเร็วต้น u และความเร็วปลาย v
u คือความเร็วที่จุดเริ่มพิจารณา v คือความเร็วที่จุดสุดท้ายของช่วงที่พิจารณา ความสัมพันธ์กับกราฟ a–t คือ v − u เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ a–t
ตกอิสระ (free fall)
การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งภายใต้แรงโน้มถ่วงเท่านั้น ความเร่งคงที่เท่ากับ g ทิศลงตลอดเวลา ถ้ากำหนดขึ้นเป็นบวก ความเร่งจะเป็น −g กราฟ v–t จึงเป็นเส้นตรงความชันคงที่