สรุปตรีโกณมิติ — ค่าที่ควรจำ

ชื่อ ......................................................... ชั้น ................ เลขที่ ......... วันที่ ................ คะแนน ......... / .........

แตะช่องในตาราง หรือแตะบรรทัดสูตร เพื่อเปิดดูคำตอบทีละอัน

ค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30°, 45° และ 60°

สามมุมนี้ต้องท่องได้แบบไม่ต้องคิด เพราะโจทย์เกือบทุกข้อสร้างจากมุมเหล่านี้

อัตราส่วน \ มุม	30°	45°	60°
sin	12	1√2	√32
cosec	2	√2	2√3
cos	√32	1√2	12
sec	2√3	√2	2
tan	1√3	1	√3
cot	√3	1	1√3

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุม (องศาและเรเดียน)

หัวตารางกำกับทั้งสองหน่วย เพื่อให้นักเรียนเทียบองศากับเรเดียนไปพร้อมกัน ห้าคอลัมน์แรกคือมุมที่ปลายส่วนโค้งตกบนแกน X หรือ Y ส่วนสามคอลัมน์ท้ายคือมุมพิเศษเดิม

f \ θ	0	90°π2	180°π	270°3π2	360°2π	60°π3	45°π4	30°π6
sin	0	1	0	−1	0	√32	1√2	12
cosec	หาค่าไม่ได้	1	หาค่าไม่ได้	−1	หาค่าไม่ได้	2√3	√2	2
cos	1	0	−1	0	1	12	1√2	√32
sec	1	หาค่าไม่ได้	−1	หาค่าไม่ได้	1	2	√2	2√3
tan	0	หาค่าไม่ได้	0	หาค่าไม่ได้	0	√3	1	1√3
cot	หาค่าไม่ได้	0	หาค่าไม่ได้	0	หาค่าไม่ได้	1√3	1	√3

ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ควรทราบ

จัดกลุ่มตามที่มา จะจำง่ายกว่าท่องเรียงบรรทัด

กลุ่มส่วนกลับ

คู่ที่คูณกันได้ 1 เสมอ ใช้เปลี่ยน cosec, sec, cot ให้เป็น sin, cos, tan

sin A · cosec A = 1

cos A · sec A = 1

tan A · cot A = 1

กลุ่มพีทาโกรัส

มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ใช้ยุบพจน์กำลังสองให้เหลือ 1

sin²A + cos²A = 1

sec²A − tan²A = 1

cosec²A − cot²A = 1

กลุ่มผลหาร

ใช้เปลี่ยน tan และ cot ให้อยู่ในรูป sin กับ cos เมื่อโจทย์ปนกันหลายฟังก์ชัน

tan A = sin Acos A

cot A = cos Asin A

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 90° ± A, 180° ± A, 270° ± A, 360° ± A และ (−A) เมื่อ 0 < A < 90°

ไม่ต้องท่อง 54 บรรทัด ใช้กฎ 2 ขั้นนี้แทน

ชื่อฟังก์ชันเปลี่ยนหรือไม่ — มุมหลักเป็น 180° หรือ 360° อยู่บนแกนนอน ชื่อคงเดิม แต่ถ้ามุมหลักเป็น 90° หรือ 270° อยู่บนแกนตั้ง ต้องเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน คือ sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec

เครื่องหมายเป็นอะไร — ดูว่ามุมทั้งก้อนตกอยู่ควอดรันต์ไหน แล้วใส่เครื่องหมายของฟังก์ชันเดิมที่โจทย์ให้ ในควอดรันต์นั้น (ไม่ใช่ฟังก์ชันที่เปลี่ยนชื่อแล้ว)

ลองดู cos(90° + A) — มุมหลัก 90° จึงเปลี่ยนชื่อเป็น sin, มุมอยู่ควอดรันต์ 2 ซึ่ง cos เป็นลบ จึงได้ −sin A

เครื่องหมายในแต่ละควอดรันต์ ตัวเลขในวงเล็บคือเครื่องหมายของพิกัด (cos, sin)

ควอดรันต์ 2

sin, cosec เป็นบวก

(−, +)

ควอดรันต์ 1

ทุกฟังก์ชันเป็นบวก

(+, +)

ควอดรันต์ 3

tan, cot เป็นบวก

(−, −)

ควอดรันต์ 4

cos, sec เป็นบวก

(+, −)

90° − A ควอดรันต์ 1 เปลี่ยนชื่อ

sin(90° − A)=cos A

cosec(90° − A)=sec A

cos(90° − A)=sin A

sec(90° − A)=cosec A

tan(90° − A)=cot A

cot(90° − A)=tan A

90° + A ควอดรันต์ 2 เปลี่ยนชื่อ

sin(90° + A)=cos A

cosec(90° + A)=sec A

cos(90° + A)=−sin A

sec(90° + A)=−cosec A

tan(90° + A)=−cot A

cot(90° + A)=−tan A

180° − A ควอดรันต์ 2 ชื่อเดิม

sin(180° − A)=sin A

cosec(180° − A)=cosec A

cos(180° − A)=−cos A

sec(180° − A)=−sec A

tan(180° − A)=−tan A

cot(180° − A)=−cot A

180° + A ควอดรันต์ 3 ชื่อเดิม

sin(180° + A)=−sin A

cosec(180° + A)=−cosec A

cos(180° + A)=−cos A

sec(180° + A)=−sec A

tan(180° + A)=tan A

cot(180° + A)=cot A

270° − A ควอดรันต์ 3 เปลี่ยนชื่อ

sin(270° − A)=−cos A

cosec(270° − A)=−sec A

cos(270° − A)=−sin A

sec(270° − A)=−cosec A

tan(270° − A)=cot A

cot(270° − A)=tan A

270° + A ควอดรันต์ 4 เปลี่ยนชื่อ

sin(270° + A)=−cos A

cosec(270° + A)=−sec A

cos(270° + A)=sin A

sec(270° + A)=cosec A

tan(270° + A)=−cot A

cot(270° + A)=−tan A

360° − A ควอดรันต์ 4 ชื่อเดิม

sin(360° − A)=−sin A

cosec(360° − A)=−cosec A

cos(360° − A)=cos A

sec(360° − A)=sec A

tan(360° − A)=−tan A

cot(360° − A)=−cot A

360° + A ควอดรันต์ 1 ชื่อเดิม

sin(360° + A)=sin A

cosec(360° + A)=cosec A

cos(360° + A)=cos A

sec(360° + A)=sec A

tan(360° + A)=tan A

cot(360° + A)=cot A

−A ควอดรันต์ 4 ชื่อเดิม

sin(−A)=−sin A

cosec(−A)=−cosec A

cos(−A)=cos A

sec(−A)=sec A

tan(−A)=−tan A

cot(−A)=−cot A

มุม −A ให้ผลตรงกับ 360° − A ทุกบรรทัด เพราะเป็นมุมเดียวกันที่วัดคนละทาง ท่องแค่ชุดเดียวก็พอ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม

ใช้ได้กับ α และ β ที่เป็นจำนวนจริงหรือมุมใด ๆ ไม่จำกัดว่าต้องเป็นมุมแหลม

sin(α ± β) และ cos(α ± β)

sin(α + β)=sin α cos β + cos α sin β

sin(α − β)=sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β)=cos α cos β − sin α sin β

cos(α − β)=cos α cos β + sin α sin β

sin จำว่า sin cos ◯ sin cos และเครื่องหมายตรงกลาง เหมือนโจทย์

cos จำว่า cos cos ◯ sin sin และเครื่องหมายตรงกลาง ตรงข้ามกับโจทย์

tan(α ± β) และ cot(α ± β)

tan(α + β)=tan α + tan β1 − tan α tan β

tan(α − β)=tan α − tan β1 + tan α tan β

cot(α + β)=cot α cot β − 1cot β + cot α

cot(α − β)=cot α cot β + 1cot β − cot α

tan จำว่า เศษคือ tan ◯ tan เครื่องหมาย เหมือนโจทย์ ส่วนคือ 1 ◯ tan·tan เครื่องหมาย ตรงข้ามกับโจทย์

cot สลับกับ tan พอดี เศษคือ cot cot ◯ 1 เครื่องหมาย ตรงข้ามกับโจทย์ ส่วนคือ cot β ◯ cot α เครื่องหมาย เหมือนโจทย์ และตัวส่วนขึ้นต้นด้วย cot β เสมอ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 2α และ 3α

ได้จากการแทน β ด้วย α ในสูตรผลบวก แล้วยุบพจน์ ไม่ใช่สูตรใหม่

มุม 2α

sin 2α=2 sin α cos α

cos 2α=cos²α − sin²α

tan 2α=2 tan α1 − tan²α

cot 2α=cot²α − 12 cot α

cot 2α คือ tan 2α กลับเศษกลับส่วน แล้วเปลี่ยน tan เป็น cot ทั้งหมด ใช้หลักนี้กับ cot 3α ได้เหมือนกัน

รูปอื่นของ cos 2α ที่ออกสอบบ่อย ใช้ตอนโจทย์ให้ sin หรือ cos มาอย่างเดียว

cos 2α=1 − 2 sin²α

cos 2α=2 cos²α − 1

sin²α=1 − cos 2α2

cos²α=1 + cos 2α2

มุม 3α

sin 3α=3 sin α − 4 sin³α

cos 3α=4 cos³α − 3 cos α

tan 3α=3 tan α − tan³α1 − 3 tan²α

cot 3α=cot³α − 3 cot α3 cot²α − 1

sin กับ cos ใช้ตัวเลข 3 และ 4 เหมือนกัน แต่สลับที่กัน sin ขึ้นต้นด้วย 3 แล้วลบ 4 ส่วน cos ขึ้นต้นด้วย 4 แล้วลบ 3

ผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สองชุดนี้เป็นสูตรเดียวกันมองกลับทาง ใช้ตอนโจทย์ให้พิสูจน์เอกลักษณ์หรือหาค่าของผลบวกมุมแปลก ๆ

เปลี่ยนผลคูณให้เป็นผลบวกหรือผลต่าง

2 sin α cos β=sin(α + β) + sin(α − β)

2 cos α sin β=sin(α + β) − sin(α − β)

2 cos α cos β=cos(α + β) + cos(α − β)

2 sin α sin β=cos(α − β) − cos(α + β)

ฝั่งซ้ายมี sin กับ cos ผสมกัน ผลลัพธ์จะเป็น sin ทั้งคู่ แต่ถ้าฝั่งซ้ายเป็นฟังก์ชันเดียวกันทั้งสองตัว ผลลัพธ์จะเป็น cos ทั้งคู่

บรรทัด 2 sin α sin β เป็นบรรทัดเดียวที่สลับลำดับ เอา cos(α − β) ขึ้นก่อนแล้วลบด้วย cos(α + β) ถ้าเขียนกลับลำดับจะได้เครื่องหมายผิด

เปลี่ยนผลบวกหรือผลต่างให้เป็นผลคูณ

sin α + sin β=2 sin α + β2 cos α − β2

sin α − sin β=2 cos α + β2 sin α − β2

cos α + cos β=2 cos α + β2 cos α − β2

cos α − cos β=−2 sin α + β2 sin α − β2

ทุกบรรทัดมีโครงเดียวกัน คือ 2 คูณด้วยฟังก์ชันของ α + β2 คูณด้วยฟังก์ชันของ α − β2 เหลือแค่จำว่าสองตำแหน่งนั้นเป็นฟังก์ชันอะไร

cos α − cos β เป็นบรรทัดเดียวที่มีลบนำหน้า จุดนี้เป็นที่พลาดกันมากที่สุด

เทคนิคจำ 4 ข้อ

จำแค่ sin กับ cos ก่อน ที่เหลืออีกสี่แถวสร้างจากสองแถวนี้ทั้งหมด — cosec คือส่วนกลับของ sin, sec คือส่วนกลับของ cos, tan = sin ÷ cos และ cot คือส่วนกลับของ tan
sin ไต่ขึ้น cos ไหลลง จาก 30° ไป 60° ค่า sin เรียงเป็น 12 , 1√2 , √32 ส่วน cos เรียงย้อนกลับพอดี
“หาค่าไม่ได้” เกิดเมื่อตัวส่วนเป็น 0 ไม่ต้องจำว่าช่องไหนหาค่าไม่ได้ ให้ดูว่าฟังก์ชันนั้นเอาอะไรไปหาร เช่น sec = 1 ÷ cos ดังนั้น sec หาค่าไม่ได้ตรงมุมที่ cos = 0 คือ π2 และ 3π2
สองสูตรพีทาโกรัสท้ายมาจากสูตรแรก เอา sin²A + cos²A = 1 หารทั้งสองข้างด้วย cos²A จะได้ sec²A − tan²A = 1 และถ้าหารด้วย sin²A จะได้ cosec²A − cot²A = 1