วงกลมหนึ่งหน่วย และฟังก์ชันไซน์–โคไซน์

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร

วงกลมหนึ่งหน่วย คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0, 0) และมีรัศมียาวหนึ่งหน่วย ความพิเศษของมันคือรัศมีเท่ากับ 1 พอดี ทำให้พิกัดของจุดบนวงกลมกลายเป็นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรง ไม่ต้องหารด้วยอะไรอีก

ส่วนของวงกลม	ความยาวส่วนโค้ง	ค่าประมาณ
เต็มวง	2πr = 2π หน่วย	6.2832
ครึ่งวง	π หน่วย	3.1416
เสี้ยววง หนึ่งในสี่	π⁄2 หน่วย	1.5708

กติกาการวัดความยาวส่วนโค้ง

กำหนดให้ θ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จุด P(θ) คือจุดปลายของส่วนโค้งที่ยาว |θ| หน่วย โดยเริ่มวัดจากจุด (1, 0) เสมอ แล้วเดินไปตามเส้นรอบวง

ถ้า θ ≥ 0 เดินทวนเข็มนาฬิกา • ถ้า θ < 0 เดินตามเข็มนาฬิกา
และเมื่อจุดปลายส่วนโค้งมีพิกัดเป็น (x, y) เราเขียนว่า P(θ) = (x, y)

เครื่องหมายของพิกัดในแต่ละควอดรันต์

ควอดรันต์	1	2	3	4
เครื่องหมาย (x, y)	(+, +)	(−, +)	(−, −)	(+, −)

จำไล่ทวนเข็มนาฬิกาจากขวาบน แล้ววนไปซ้ายบน ซ้ายล่าง ขวาล่าง

เครื่องมือหาจุดปลายส่วนโค้ง P(θ)

เลือกหน่วยของมุมแล้วเลื่อนตัวคูณ เส้นสีทองคือเส้นทางที่เดินจริงจากจุด (1, 0) ถ้าเดินเกินหนึ่งรอบเส้นจะขดเป็นวงซ้อนกันให้เห็นว่าหมุนไปกี่รอบ

เส้นทางที่เดิน จุด P(θ)

ตัวคูณ k

จุดปลายส่วนโค้ง

ตารางพิกัดจุดปลายส่วนโค้งที่ต้องจำ

สังเกตว่าตัวเลขในแต่ละตระกูลเหมือนกันหมด เปลี่ยนแค่เครื่องหมายตามควอดรันต์ จำตัวเลขชุดเดียวแล้วใส่เครื่องหมายเอา

จุดบนแกน

ตระกูล π⁄4 หรือ 45 องศา

ตระกูล π⁄3 หรือ 60 องศา

ตระกูล π⁄6 หรือ 30 องศา

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

กำหนด P(θ) = (x, y) จะได้ sin θ = y และ cos θ = x

พิกัดแนวตั้งคือไซน์ พิกัดแนวนอนคือโคไซน์ แค่นั้นเลย

โดเมนและเรนจ์

ส่วนโค้งจะยาวเท่าไรก็ได้ ยาวไปเรื่อย ๆ ก็แค่วนซ้ำ ดังนั้นใส่ค่า θ ได้ทุกจำนวนจริง แต่จุดปลายต้องอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี 1 เสมอ พิกัดจึงออกนอกช่วง −1 ถึง 1 ไม่ได้

D_sine = D_cosine = R • R_sine = R_cosine = [−1, 1]

ที่มาของเอกลักษณ์พีทาโกรัส

สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ x² + y² = 1 เมื่อแทน x ด้วย cos θ และแทน y ด้วย sin θ ก็ได้เอกลักษณ์ที่ใช้บ่อยที่สุดในบทนี้ทันที ไม่ต้องท่อง

cos²θ + sin²θ = 1

ค่าของไซน์และโคไซน์ที่ได้จากตารางพิกัด

เทคนิคลดรอบ สำหรับมุมใหญ่ ๆ

โจทย์อย่าง P(101π) หรือ P(25π⁄4) ไม่ได้ยาก แค่หมุนหลายรอบ วิธีคิดคือตัดรอบเต็มทิ้งให้หมดก่อน เพราะหมุนครบ 2π หนึ่งรอบแล้วกลับมาที่จุดเดิมเสมอ

ทางลัดที่ 1 — มุมเป็นจำนวนเต็มเท่าของ π

ดูแค่ว่าตัวคูณเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ ไม่ต้องหารอะไรเลย

ตัวคูณคู่ → P = (1, 0) • ตัวคูณคี่ → P = (−1, 0)
เช่น P(100π) = (1, 0), P(101π) = (−1, 0), P(−51π) = (−1, 0), P(−102π) = (1, 0)

ทางลัดที่ 2 — มุมเป็นจำนวนเต็มเท่าของ π⁄2

เอาตัวคูณหารด้วย 4 แล้วดูเศษ เพราะครบ 4 ครั้งของ π⁄2 คือหนึ่งรอบพอดี

เศษ 0 → (1, 0) • เศษ 1 → (0, 1) • เศษ 2 → (−1, 0) • เศษ 3 → (0, −1)
เช่น P(9π⁄2) มีตัวคูณ 9 หารด้วย 4 เหลือเศษ 1 จึงได้ (0, 1)

ทางลัดที่ 3 — กรณีทั่วไป

บวกหรือลบ 2π ไปเรื่อย ๆ จนได้ค่าที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2π แล้วค่อยเปิดตารางพิกัด

P(25π⁄4) → 25π⁄4 − 6π = π⁄4 → อยู่ควอดรันต์ 1
P(−25π⁄3) → −25π⁄3 + 8π = −π⁄3 → บวกอีก 2π ได้ 5π⁄3 → อยู่ควอดรันต์ 4

ทางลัดที่ 4 — เมื่อความยาวส่วนโค้งเป็นจำนวนธรรมดา

ถ้าโจทย์บอกว่าส่วนโค้งยาว 2 หน่วย หรือ 5 หน่วย ให้เทียบกับหลักไมล์สี่ตัวนี้ แล้วดูว่าตกอยู่ช่วงไหน

π⁄2 ≈ 1.571 • π ≈ 3.142 • 3π⁄2 ≈ 4.712 • 2π ≈ 6.283
เช่น ยาว 2 หน่วย อยู่ระหว่าง 1.571 กับ 3.142 จึงอยู่ควอดรันต์ 2 ส่วนยาว 5 หน่วย อยู่ระหว่าง 4.712 กับ 6.283 จึงอยู่ควอดรันต์ 4

แบบฝึกหาควอดรันต์

คำถามสุ่มใหม่ทุกครั้ง ตอบแล้วจะมีวิธีลดรอบให้ดูทันที ทำสัก 20 ข้อก่อนสอบ

หมวดทบทวน และใบฝึกสำหรับพิมพ์

แต่ละหัวข้อปิดไว้ ให้ลองตอบในใจก่อนแล้วค่อยกดเปิดเฉลย ใช้ทบทวนรอบสุดท้ายก่อนสอบได้

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร และพิเศษตรงไหน

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0) และรัศมียาว 1 หน่วย ความพิเศษคือรัศมีเท่ากับ 1 พอดี พิกัดของจุดบนวงกลมจึงกลายเป็นค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรง ไม่ต้องหารด้วยความยาวรัศมีอีก

P(θ) เริ่มวัดจากจุดไหน และเดินไปทางไหน

เริ่มจากจุด (1, 0) เสมอ แล้วเดินไปตามเส้นรอบวงเป็นระยะ |θ| หน่วย

θ ≥ 0 เดินทวนเข็มนาฬิกา • θ < 0 เดินตามเข็มนาฬิกา

sin θ และ cos θ คือพิกัดตัวไหนของ P(θ)

ถ้า P(θ) = (x, y) แล้ว sin θ = y คือพิกัดแนวตั้ง และ cos θ = x คือพิกัดแนวนอน จำสั้น ๆ ว่าไซน์คือสูง โคไซน์คือกว้าง

โดเมนและเรนจ์ของไซน์กับโคไซน์คืออะไร

ใส่ค่า θ ได้ทุกจำนวนจริง เพราะเดินยาวเท่าไรก็แค่วนซ้ำ แต่จุดปลายอยู่บนวงกลมรัศมี 1 พิกัดจึงออกนอกช่วง −1 ถึง 1 ไม่ได้

D_sine = D_cosine = R • R_sine = R_cosine = [−1, 1]

เครื่องหมายของพิกัดในแต่ละควอดรันต์เป็นอย่างไร

ไล่ทวนเข็มจากขวาบน

ควอดรันต์ 1 (+, +) • 2 (−, +) • 3 (−, −) • 4 (+, −)

P(nπ) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม ได้จุดอะไร

ดูแค่ว่า n เป็นเลขคู่หรือคี่ ไม่ต้องหารอะไรเลย

n คู่ → (1, 0) • n คี่ → (−1, 0)
เช่น P(100π) = (1, 0) และ P(101π) = (−1, 0)

P(nπ⁄2) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม ได้จุดอะไร

เอา n หารด้วย 4 แล้วดูเศษ เพราะครบ 4 ครั้งของ π⁄2 คือหนึ่งรอบพอดี

เศษ 0 → (1, 0) • เศษ 1 → (0, 1) • เศษ 2 → (−1, 0) • เศษ 3 → (0, −1)

ตัวเลขในตระกูล π⁄6, π⁄4, π⁄3 คืออะไร

ตัวเลขซ้ำกันทุกควอดรันต์ เปลี่ยนแค่เครื่องหมาย

ตระกูล π⁄6 ใช้ √32 คู่กับ 12 โดยตัวใหญ่อยู่ที่ x
ตระกูล π⁄3 ใช้คู่เดียวกันแต่สลับที่ ตัวใหญ่อยู่ที่ y
ตระกูล π⁄4 ใช้ 1√2 ทั้งสองช่อง เพราะกว้างเท่าสูงพอดี

cos²θ + sin²θ = 1 มาจากไหน

มาจากสมการวงกลมหนึ่งหน่วย x² + y² = 1 ตรง ๆ เพราะ x คือ cos θ และ y คือ sin θ ไม่ต้องท่อง แค่รู้ว่าจุดอยู่บนวงกลมรัศมี 1

เจอมุมใหญ่อย่าง 25π⁄4 ทำอย่างไร

บวกหรือลบ 2π ไปเรื่อย ๆ จนเหลือค่าระหว่าง 0 ถึง 2π เพราะหมุนครบรอบแล้วกลับมาที่จุดเดิม

25π⁄4 − 6π = π⁄4 จึงอยู่ควอดรันต์ 1 • −25π⁄3 + 8π = −π⁄3 แล้วบวกอีก 2π ได้ 5π⁄3 จึงอยู่ควอดรันต์ 4

ส่วนโค้งยาว 2 หรือ 5 หน่วย อยู่ควอดรันต์ไหน

เทียบกับหลักไมล์สี่ตัว แล้วดูว่าตกช่วงไหน

π⁄2 ≈ 1.571 • π ≈ 3.142 • 3π⁄2 ≈ 4.712 • 2π ≈ 6.283
ยาว 2 หน่วย → ควอดรันต์ 2 • ยาว 5 หน่วย → ควอดรันต์ 4

ใบฝึกสำหรับพิมพ์ 50 ข้อ

กดสุ่มชุดใหม่ได้ไม่จำกัด ข้อสอบจะเปลี่ยนทุกครั้ง เหมาะกับการแจกให้นักเรียนทำในคาบหรือกลับไปทำที่บ้าน

ใบฝึกมีสามตอน ตอนที่ 1 หาพิกัด 20 ข้อ ตอนที่ 2 บอกควอดรันต์ 20 ข้อ ตอนที่ 3 หาค่าไซน์และโคไซน์ 10 ข้อ