หลักการนับและความน่าจะเป็น A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1: 5 รูปแบบโจทย์

ข้อมูลสนามสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1

ข้อสอบมี 30 ข้อ คะแนนเต็ม 100 เวลาสอบ 90 นาที บทที่ออกข้อสอบมากที่สุดในปี 2569 ได้แก่

• ✓สถิติและการแจกแจงความน่าจะเป็น: 4 ข้อ
• ✓หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น: 3 ข้อ
• ✓แคลคูลัสเบื้องต้น: 3 ข้อ
• ✓เรขาคณิตวิเคราะห์: 3 ข้อ
• ✓ฟังก์ชัน: 3 ข้อ

แบบที่ 1 กฎการคูณและกฎการบวก

กฎการคูณใช้เมื่องานมีหลายขั้นตอนและต้องทำครบทุกขั้น จำนวนวิธี = n₁ × n₂ × … ส่วนกฎการบวกใช้เมื่อเลือกทำเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง จำนวนวิธี = n₁ + n₂ + …

ภาพประกอบ: ข้าว 3 ชนิด คู่กับกับข้าว 4 ชนิด นับช่องได้ 3 × 4 = 12 แบบ

• ✓โจทย์ที่มีคำว่า "…และ…" หรือทำต่อเนื่องกัน มักใช้กฎการคูณ
• ✓โจทย์ที่มีคำว่า "…หรือ…" หรือเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง มักใช้กฎการบวก

ตัวอย่าง กฎการคูณและกฎการบวก

• ✓โจทย์: ร้านอาหารมีข้าว 3 ชนิด และกับข้าว 4 ชนิด ถ้าสั่งข้าว 1 ชนิดคู่กับกับข้าว 1 ชนิด สั่งได้กี่แบบ
• ✓วิธีทำ: ต้องเลือกทั้งสองอย่าง จึงใช้กฎการคูณ 3 × 4 = 12 ตอบ 12 แบบ
• ✓ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ตอบ 7 แบบ เพราะนำ 3 บวก 4
• ✓โจทย์: ถ้าสั่งเพียงอย่างเดียว คือข้าว 1 ชนิดหรือกับข้าว 1 ชนิด สั่งได้กี่แบบ
• ✓วิธีทำ: เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง จึงใช้กฎการบวก 3 + 4 = 7 ตอบ 7 แบบ

แบบที่ 2 เรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่

เรียงสับเปลี่ยนคือการเลือก r สิ่งจาก n สิ่ง โดยลำดับมีผล Pₙ,ᵣ = n! ÷ (n − r)! ส่วนจัดหมู่คือการเลือก r สิ่งจาก n สิ่ง โดยลำดับไม่มีผล Cₙ,ᵣ = Pₙ,ᵣ ÷ r!

ภาพประกอบ: เลือก 2 ตัวจาก A, B, C ถ้าลำดับมีผลได้ 6 แบบ คือ AB BA AC CA BC CB ถ้าลำดับไม่มีผลได้ 3 แบบ คือ {A, B} {A, C} {B, C} เพราะกลุ่มหนึ่งสลับลำดับได้ 2! = 2 แบบ จึงได้ 6 ÷ 2 = 3

n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 เช่น 4! = 24 และกำหนดให้ 0! = 1

ตัวอย่าง เรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่

• ✓โจทย์: นักเรียน 6 คน เลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ตำแหน่งละ 1 คน เลือกได้กี่วิธี
• ✓วิธีทำ: ตำแหน่งต่างกัน ลำดับมีผล P₆,₃ = 6 × 5 × 4 = 120 ตอบ 120 วิธี
• ✓โจทย์: ถ้าเลือกนักเรียน 3 คนจาก 6 คน เป็นกรรมการซึ่งไม่มีตำแหน่ง เลือกได้กี่วิธี
• ✓วิธีทำ: ไม่มีตำแหน่ง ลำดับไม่มีผล C₆,₃ = 120 ÷ 3! = 20 ตอบ 20 วิธี
• ✓ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ตอบ 120 วิธี เพราะนับลำดับทั้งที่ไม่มีตำแหน่ง

แบบที่ 3 จัดเรียงแบบมีเงื่อนไข

กรณีต้องอยู่ติดกัน มีขั้นตอนดังนี้

• ✓มัดสิ่งที่ต้องอยู่ติดกันเป็น 1 ก้อน เช่น ก ข ค ง จ ถ้า ก กับ ข ต้องติดกัน จะเหลือ 4 หน่วย
• ✓จัดก้อนนั้นรวมกับสิ่งที่เหลือ
• ✓คูณด้วยจำนวนวิธีสลับกันภายในก้อน
• ✓กรณีห้ามอยู่ติดกัน: จำนวนวิธีที่ห้ามติดกัน = จำนวนวิธีทั้งหมด − จำนวนวิธีที่ติดกัน
• ✓การนับจากส่วนที่ไม่ต้องการแล้วนำไปลบ มักเร็วกว่าการนับกรณีที่ต้องการโดยตรง

ตัวอย่าง จัดเรียงแบบมีเงื่อนไข

• ✓โจทย์: จัดคน 5 คนนั่งเรียงเป็นแถว โดย ก กับ ข ต้องนั่งติดกัน จัดได้กี่วิธี
• ✓วิธีทำ: มัด ก กับ ข เป็น 1 ก้อน เหลือ 4 หน่วย จัดได้ 4! และ ก กับ ข สลับกันในก้อนได้ 2! จึงได้ 4! × 2! = 24 × 2 = 48 ตอบ 48 วิธี
• ✓ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ตอบ 24 วิธี เพราะลืมคูณ 2! ที่ ก กับ ข สลับกัน
• ✓โจทย์: ถ้า ก กับ ข ห้ามนั่งติดกัน จัดได้กี่วิธี
• ✓วิธีทำ: จัดทั้งหมด − จัดแบบนั่งติดกัน = 5! − 48 = 120 − 48 = 72 ตอบ 72 วิธี

แบบที่ 4 ความน่าจะเป็นจากการนับ

ความน่าจะเป็น = จำนวนผลลัพธ์ที่สนใจ หารด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด หรือ P(E) = n(E) ÷ n(S)

ภาพประกอบ: โยนเหรียญ 2 เหรียญ ได้หัว 1 เหรียญพอดี ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ หห หก กห กก (ห = หัว, ก = ก้อย) n(S) = 4 และ n(E) = 2 จึงได้ P(E) = 2/4 = 1/2

• ✓ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 เสมอ
• ✓หยิบพร้อมกัน ใช้การจัดหมู่นับจำนวนวิธี

ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นจากการนับ

• ✓โจทย์: กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 4 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงทั้งสองลูกเท่ากับเท่าใด
• ✓วิธีทำ: จำนวนวิธีหยิบทั้งหมด C₇,₂ = 21 จำนวนวิธีได้สีแดง 2 ลูก C₄,₂ = 6 ความน่าจะเป็น = 6 ÷ 21 = 2/7 ตอบ 2/7
• ✓ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ตอบ 16/49 เพราะคิดเหมือนหยิบแล้วใส่คืน
• ✓หยิบพร้อมกันหรือหยิบทีละลูกโดยไม่ใส่คืน จำนวนลูกบอลในกล่องจะลดลง จึงคูณ 4/7 × 4/7 ไม่ได้

แบบที่ 5 เหตุการณ์ "อย่างน้อย 1"

ความน่าจะเป็นที่เกิดอย่างน้อย 1 ครั้ง = 1 − P(ไม่เกิดเลย)

ที่ต้องคิดจากเหตุการณ์ตรงข้าม เพราะ "อย่างน้อย 1" มีหลายกรณี เช่น เกิด 1 ครั้ง 2 ครั้ง หรือ 3 ครั้ง แต่ "ไม่เกิดเลย" มีเพียงกรณีเดียว จึงนับง่ายกว่า

ภาพประกอบ: โยนเหรียญ 3 เหรียญ ได้หัวอย่างน้อย 1 เหรียญ ผลลัพธ์ทั้งหมด 2 × 2 × 2 = 8 แบบ ไม่ได้หัวเลยมีแบบเดียว คือ กกก ความน่าจะเป็น = 1 − 1/8 = 7/8

ตัวอย่าง เหตุการณ์ "อย่างน้อย 1"

• ✓โจทย์: โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 6 อย่างน้อย 1 ลูก เท่ากับเท่าใด
• ✓วิธีทำ: เหตุการณ์ตรงข้าม คือไม่ได้แต้ม 6 เลย = 5 × 5 = 25 แบบ ผลลัพธ์ทั้งหมด = 6 × 6 = 36 แบบ ความน่าจะเป็น = 1 − 25/36 = 11/36 ตอบ 11/36
• ✓ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ตอบ 2/6 เพราะนำ 1/6 บวก 1/6
• ✓โจทย์ที่มีคำว่า "อย่างน้อย" มักคิดจากเหตุการณ์ตรงข้ามได้เร็วกว่า